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地图的数学基础

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        一、地球椭球体

        地球不是一个真正的球体,而是一个极不规则的椭球体;而且地表起伏不平,高低之差近20公里。因此,不可能用数学中常采用的球体参数来描述地球的形状和大小。由于生产和科学发展的需要,促使人们对地球进行了反复的观测和研究,逐步找到了采用某种特殊球体参数近似描述地球的方法,即采用沿自转轴(短轴)旋转的椭球体来描述地球,简称地球椭球体。椭球的短轴为极半径 b,长轴为赤道半径a,地球的扁率为f=(ab)a

 地球旋转椭球体的形状和大小,同大地平均海水面所包围的地球相近似。由于各国观测分析和计算的不同,椭球体的主要参数有些差异。下表为我国不同时期采用的不同的椭球体参数。

        我国不同时期采用的不同的椭球体参数:

椭球体名称

年代

长轴()

 

中国采用年代

备注

海福特

1910

6378388

05:57.0

1942

1942年国际第一个推荐值

克拉索夫斯基

1940

6378245

l298.3

1953-1957

前苏联

1975年大地坐标系

(1AG/IUGG)

1975

6378140

05:58.3

1980年以后

1975年国际第三个推荐值

 

         地球上任一点的空间位置是由地理经度、纬度和高程确定的。经度是以英国的格林尼治天文台所在地作为起算点(本初子午线即0°),向东从0°~180°为东经,向西从0°~180°为西经。纬度是从赤道起算(0°),向北由0°~90°为北纬,向南由0°~90°为南纬。地球上任一点的高程是从大地平均海平面起算的。

    地面上各控制点的大地坐标都是根据坐标原点(坐标起始点)用大地测量方法测算的。地面各点的高程是以大地水准面为基准计算的,而大地水准面以平均海水面计算。各国采用的起算点是不同的。

        建立起的地面大地坐标和海拔高程控制系统,称为大地控制网。它由平面控制网和高程控制网组成,这是大地测量和水准测量的主要任务。

       二、中国国家坐标系CGCS2000

        大地坐标系又称大地基准,是大地测量的基础。按其原点相对地球质心的位置,大地坐标系分为局部坐标系和地心坐标系。局部坐标系的原点偏离地心可能达几十到几百米,而地心坐标系的原点理论上与地心重合(实际上与地心难免有些偏离) 。局部坐标系一般是以经典测量技术为基础建立的,而地心坐标系则是以卫星大地测量为基础建立的。在卫星大地测量出现之前,局部坐标系是国家(或地区) 大地坐标系的惟一选择,因而世界上当时出现了许多独立的局部坐标系。我国于1954年建立了第一代国家大地坐标系统——1954年北京坐标系,之后在1954年北京坐标系的基础上,于1980年建立了第二代国家大地坐标系统——1980西安坐标系,实质上都只是局部坐标系,同时各大中城市也相继在第一、二代国家大地坐标系下,建立了各自的相对独立或独立的城市坐标系统,测制了各种比例尺地形图,为国民经济和社会发展提供了基础的测绘保障。随着大地测量的发展,大地坐标系应用的深度和广度已今非昔比,建立坐标系已不再仅着眼于测图,而更多地着眼于工程控制、地球物理勘探、地震形变监测、地学研究、对地观测、陆海空导航以及航天等多种应用。为了满足这些应用的不同要求,地心坐标系用途更加广泛,适用于上面提到的各种应用,而局部坐标系的一些应用受到限制,有些应用(如航天) 则完全失去了意义。目前由地面网体现的局部坐标系的精度比由GPS网体现的地心坐标系精度大约低3 个数量级。局部坐标系已难以满足许多科学问题和工程应用的精度要求。此外,就坐标系的轴向、尺度与参考椭球形状大小而言,相对现代大地基准,1954年北京坐标系和1980 年西安坐标系都存在一定偏差。

    顺应时代的潮流和要求,我国提出并建立了2000国家大地坐标系CGCS2000China Geodetic Coordinate System 2000)。经国务院批准,我国自200871日起,启用2000国家大地坐标系(地心坐标系)。

        2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现,其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。

    国家大地坐标系的定义包括坐标系的原点、三个坐标轴的指向、尺度以及地球椭球的4个基本参数的定义。2000国家大地坐标系的原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心;2000国家大地坐标系的Z轴由原点指向历元2000.0的地球参考极的方向,该历元的指向由国际时间局给定的历元为1984.0的初始指向推算,定向的时间演化保证相对于地壳不产生残余的全球旋转,X轴由原点指向格林尼治参考子午线与地球赤道面(历元2000.0)的交点,Y轴与Z轴、X轴构成右手正交坐标系。采用广义相对论意义下的尺度。2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数的数值为:

长半轴              a6378137m

扁率                f=1/298.257222101

地心引力常数       GM3.986004418×1014m3s-2 

自转角速度        ω=7.292l15×10-5rad s-1

其它参数见下表:

短半径b(m)

6356752.31414

极曲率半径c (m)

6399593.62586

第一偏心率e

0.0818191910428

第一偏心率平方e2

0.00669438002290

第二偏心率

0.0820944381519

第二偏心率平方2

0.00673949677548

1/4子午圈的长度Q(m)

10001965.7293

椭球平均半径R1(m)

6371008.77138

相同表面积的球半径R2(m)

6371007.18092

相同体积的球半径R3(m)

6371000.78997

椭球的正常位U0(m2s-2)

62636851.7149

动力形状因子J2

0.001082629832258

球谐系数J4

-0.00000237091126

球谐系数J6

0.00000000608347

球谐系数J8

-0.00000000001427

0.00344978650678

赤道正常重力值γe(伽)

9.7803253361

两极正常重力值γp(伽)

9.8321849379

正常重力平均值γ(伽)

9.7976432224

纬度45度的正常重力值γ45°(伽)

9.8061977695

采用2000国家大地坐标系后仍采用无潮汐系统。

采用地心坐标系统,有利于应用现代卫星定位技术对大地坐标框架进行维护和快速更新,有利于提高测绘成果的精度,有利于地理信息要素的快速采集与更新,可快速测定高精度的大地控制点的三维坐标,可大大提高测绘工作效率和基础保障能力。

 三、地图投影

 地球旋转椭球体表面是一个不可展开的曲面。将球面依据某种条件(假定光照条件,球面与平面的相对位置,缩小比例、变形要求等)展开成平面的方法,也就是将地球椭球面上的点、线、面投影到平面的方法,称为地图投影。球面上地理经纬,度投影到平面上的表象,称为地图经纬网。不同的投影条件,可以得到许多不同种类的地图投影,地图经纬网的形状也各不相同。但多数投影都是用数学分析方法,即用函数的概念建立地球椭球面与平面之间的对应关系。

 地图投影的选择主要考虑地图的用途、比例尺、制图区域的形状与大小、地理位置以及其他特殊要求。例如,航空和航海图需要保持方向和角度不变形,所以需采用等角投影;如需在图上量算面积,应采用等积投影;制图区域处于中纬度,宜采用正切或正割中纬度的圆锥投影;沿赤道地区宜采用正轴圆柱投影;沿经线伸展的地区可采用横轴圆柱投影;呈圆形的区域宜采用方位投影(如两极地区),或应用把投影面切于区域中心处的各种方位投影,东西半球图常用横轴方位投影等等。下面简要介绍我国常用的几种投影。

(一)  正轴等面积割圆锥投影:由于该投影无面积变形,常用于行政区划图及其他要求无面积变形的地图,如土地利用图、土地资源图、土壤图、森林分布图等。地图出版社出版的中华人民共和国全图和各省、自治区或大区的行政区划图,都采用这种投影。

(二)  正轴等角割圆锥投影:该投影保持了角度无变形的特性,常用于我国的地势图与各种气象、气候图,及省、自治区或大区的地势图。

(三)  改良多圆锥投影。国际上编制1100万地形图都采用该投影。在我国范围内,,由经差6°、纬差4°的球面梯形构成一图幅。经纬网的密度为1°×1°,经线为直线,纬线为圆弧。图幅上下两端的纬线无长度变形,中央经线略为缩短,离中央经线±2‘处的经线保持了正确的长度。

 前已介绍,1100万地形图具有统一的分幅编号。自赤道起称为纬差4°的带以拉丁字母ABC,……表示,自西经180°起从西向东经差6°带以阿拉伯数字123,……表示。例如:名为北京的图幅编号是J-50

在我国范围内,每幅1100万图的最大角度变形不超过5′,长度变形不超过 06%,所以,在处于低纬、中纬地区的1100万图上进行量测,一般可不用纠正。

(四)  正轴等角圆柱投影(墨卡托投影)。该投影的重要特点是等角航线表现为直线。所谓等角航线是地面上两点之间的一条等方位线,它在实地上是一条螺旋形曲线,不是两点间最近的线;但在地图上表现为直线。所以,常用它来编制各种航空图、航海图。

(五)  横切等角椭圆柱投影(高斯—克吕格投影)。该投影是以经差6°或3°为—带投影到椭圆柱面上,然后展开成平面的。中央经线保持了长度不变;其他经线表象为对称于中央经线的曲线,较实地略长。赤道与中央经线正交,无长度变形,6°投影带内最大长度变形达十014(赤道的两端处),面积变形最大达+027%。在以该投影编制的每幅图上的变形就更小了,在这种图上进行量测可以得到较高的精度。我国15000150万的各种比例尺地形图都是采用该投影。

     (六)  斜轴等面积方位投影。我国编制的将南海诸岛包括在内的中国全国以及编制的亚洲图或半球图,常采用该投影。图幅的中央经线表象为直线,其余经线表象为对称于中央经线的曲线。在投影中心处无变形,远离中心愈远变形愈大。最大长度变形达+3%,主要地区为+1%;最大角度变形达3°,主要地区为为1°左右;无面积变形。在一个较大制图区域内只产生上述的变形,可以认为其变形是不大的。所以该投影得到了较为广泛的应用。但是,不能在这种图上量算长度、角度。

      (七)  等差分纬线多圆锥投影。我国编制的世界地图常采用这种投影。编制世界图,选择或设计地图投影是十分重要的,它以减少变形为主要目的。各国的地图工作者都是从本国地理位置的特点为出发点,设计出较好的投影。我国设计的世界地图投影,保证了我国的疆域处于图幅的突出位置上,并保持了我国和纬度国家的面积对比关系,同时尽可能减少高纬地区的面积变形。这是我国地图工作者在地图投影研究设计方面的重要成就。

       四、地图的比例尺

        地图总是以缩小的形式表示地球的全部或一部分;比例尺就是指地球被缩小的程度,即图上线段长度与实地相应的线段的水平长度之比:

        比例尺=图上长度/实地长度=1/MM表示缩小倍数。M愈大,分式值就小,则比例尺就愈小;M愈小,分式值就大,则比例尺就愈大。M通常采用整数,以便于计算。地图上的比例尺可采取不同形式表示。用数字形式表示的,称数字比例尺,如1500001100000;用文字形式表示的,称文字比例尺,如“十万分之一”(或“1厘米代表实地1公里”);用线段表示的称直线比例尺

        由于地图投影的变形特性,决定了地图上各部分的比例尺是不相同的。只有范围很小的平面图,各部分的比例尺才相同。在一般地图上,只在标准纬线上或投影中心处保持了地球缩小的程度,这种缩小的比例常在图上标明,称主比例尺。一般所说的地图比例尺,实际都是指主比例尺而已。其余部位的比例尺,其实实是因地而异的,而称为局部比例尺。为此,有时地图上还配置一种复式比例尺,以表示各纬线上比例尺的变化。

        地图比例尺是决定地图内容详细程度和地图精度的重要因素。地图的用途、地图的投影选择、地图概括程度、地图量算精度,都取决于地图比例尺。因此,地图比例尺的选择和确定是地图设计与编制的前提。

        但是,随着遥感技术、计算机制图与地理信息系统的发展,地图比例尺的概念也有所发展。首先,遥感与地理信息系统可以获得大范围详细的数据并可储存于数据库,包括高分辨率的影像数据和很大比例尺的数字地图数据,可以根据需要生成任何比例尺的影像地图、地形图或专题地图;同时也改变了过去中、小比例尺地图由大比例尺地图逐级缩小,经过地图概括编制而成的传统方法与步骤,可以根据需要直接完成任一比例尺的地图。此外,计算机屏幕上的地图也可任意放大、缩小。因此计算机数字制图与地理信息系统的比例尺,主要取决于原始数据的比例尺,以及以此建立数据库的内容详细程度和数据精度。

 


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